[W. Rudin] 1.12-2

Rudin PMA: Ch 1.12 ~ Ch 2. Basic Topology 정리

Walter Rudin의 Principles of Mathematical Analysis 중, 순서체의 성질부터 위상수학의 기초(Point Set Topology)까지의 내용을 정리합니다.

Part 1. The Real and Complex Fields (Continued)

1.12 ~ 1.18 Ordered Fields (순서체의 성질)

실수체 $\mathbb{R}$은 순서체(Ordered Field)입니다. 순서 공리에 의해 다음과 같은 산술적 성질들이 유도됩니다.

주요 성질:

• $x > 0$ 이면 $-x < 0$ 이다.
• $x > 0$ 이고 $y < z$ 이면 $xy < xz$ 이다.
• $x \neq 0$ 이면 $x^2 > 0$ 이다. (따라서 $1 > 0$)
• $0 < x < y$ 이면 $0 < 1/y < 1/x$ 이다.

1.36 Euclidean Spaces (유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$)

$\mathbb{R}^k$는 모든 $k$-tuples $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)$의 집합으로 정의되며, 벡터 공간의 성질을 가집니다.

Definition (Inner Product & Norm):
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^k$에 대하여, $$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^k x_i y_i, \quad |\mathbf{x}| = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x})^{1/2} $$

Theorem 1.37 (Cauchy-Schwarz Inequality & Triangle Inequality):

1. $|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$ (등호 성립 조건: 종속 관계일 때)
2. $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$
3. $|\mathbf{x} - \mathbf{z}| \le |\mathbf{x} - \mathbf{y}| + |\mathbf{y} - \mathbf{z}|$

* 이 부등식들은 이후 Metric Space 거리 개념의 기초가 됩니다.

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Part 2. Basic Topology (기초 위상수학)

해석학 논증의 언어가 되는 집합론적 위상수학 개념들입니다. (Metric Space 중심)

2.1 ~ 2.14 Finite, Countable, and Uncountable Sets

Countable (가산 집합): 집합 $A$가 자연수 집합 $J$ ($=\mathbb{N}$)와 일대일 대응(1-1 correspondence)이 가능하면 가산 집합이라 한다.

Key Theorems:

• 가산 집합들의 가산 합집합(Countable union)은 가산 집합이다. (Thm 2.12)
• 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 가산 집합이다.
• Theorem 2.14: 구간 $(0, 1)$을 포함한 실수 집합 $\mathbb{R}$은 비가산 집합(Uncountable)이다. (Cantor's Diagonal Process)

2.15 ~ 2.30 Metric Spaces (거리 공간)

거리 함수 $d(p, q)$가 정의된 집합 $X$를 거리 공간이라 합니다. $\mathbb{R}^k$는 $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = |\mathbf{x}-\mathbf{y}|$인 거리 공간입니다.

Topological Definitions:
$X$를 거리 공간이라 할 때:

• Neighborhood (근방) $N_r(p)$: $d(p, q) < r$ 인 모든 $q$의 집합.
• Limit point (극한점): $p$의 모든 근방이 $p$가 아닌 $E$의 점을 포함할 때. (즉, $p$ 주변에 $E$의 점이 무수히 많음)
• Isolated point (고립점): $E$의 원소이지만 극한점은 아닌 점.
• Closed (닫힌 집합): 모든 극한점을 포함하는 집합 ($E' \subset E$).
• Open (열린 집합): 모든 점이 내점(interior point)인 집합.
• Closure (폐포) $\bar{E}$: $E \cup E'$. 항상 닫힌 집합이다.

Theorem 2.23 & 2.24:

• 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다. (무한 합집합 가능)
• 닫힌 집합의 교집합은 닫힌 집합이다. (무한 교집합 가능)
• 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이며, 그 역도 성립한다 ($E$ open $\iff E^c$ closed).

2.31 ~ 2.42 Compact Sets (콤팩트 집합)

Chapter 2의 핵심 개념입니다. 유한(Finite)의 성질을 무한으로 확장한 개념으로 이해할 수 있습니다.

Compact Definition:
집합 $K$의 모든 Open Cover(열린 덮개)가 Finite Subcover(유한 부분 덮개)를 가질 때, $K$를 Compact하다고 한다.

Compactness Properties:

• Theorem 2.34: 콤팩트 집합의 무한 부분집합은 그 콤팩트 집합 내에 극한점을 가진다.
• Theorem 2.35: 거리 공간에서 콤팩트 집합은 항상 닫혀있고 유계(Closed and Bounded)이다.
• 역은 일반적으로 성립하지 않으나, $\mathbb{R}^k$에서는 성립한다. (Heine-Borel Theorem)

Theorem 2.41 (Heine-Borel Theorem for $\mathbb{R}^k$):
유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 부분집합 $E$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$ is closed and bounded.
2. $E$ is compact.
3. $E$의 모든 무한 부분집합은 $E$ 안에 극한점을 가진다. (Weierstrass Theorem 관련)

2.43 ~ 2.44 Perfect Sets (완전 집합)

Definition: $P$가 닫힌 집합(closed)이면서, $P$의 모든 점이 극한점일 때 ($P = P'$), $P$를 Perfect set이라 한다.

Cantor Set: 비가산(Uncountable)이면서, 측도(Measure)가 0이고, 완전 집합인 칸토어 집합이 존재한다.

2.45 ~ 2.47 Connected Sets (연결 집합)

Definition: 두 분리된(separated) 비공허(non-empty) 열린 집합 $A, B$의 합집합으로 표현될 수 없을 때, $E$는 Connected 되었다고 한다.

Theorem 2.47:
실수 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $E$가 연결 집합일 필요충분조건은 $x, y \in E$이고 $x < z < y$이면 $z \in E$인 것이다. (즉, 구간(Interval) 형태여야 한다.)

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Reference: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition.