코시 수열 (Cauchy Sequence) 학습노트 2

Real Analysis · Cauchy & Completeness

코시 수열: 정의 · 완비성의 의미 · MIT 노트 요약 · 스케치 · 연습

“뒤로 갈수록 서로 가까워진다”(코시)와 “진짜로 한 점으로 모인다”(완비성)를 한 번에 잡아봅니다.

목차

1. 코시 수열의 정의
2. 모든 코시 수열이 수렴한다 = 완비성
3. MIT 18.100A Lecture 10 요약
4. 핵심 정리 증명 스케치
5. 연습문제
6. 추천 PDF & 참고

① 코시 수열의 정의

실수수열 \( \{x_n\} \)이 코시라는 것은: 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해 어떤 \( N \)이 존재하여 모든 \( m,n\ge N \)에 대해 \[ |x_m - x_n| < \varepsilon \] 가 성립하는 것입니다. 즉, “충분히 뒤에서는 서로서로 가까워진다”는 뜻입니다.

거리공간 \( (X,d) \)에서는 \[ \forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n\ge N:\ d(x_m,x_n)<\varepsilon \] 이면 코시 수열이라 합니다. 모든 수렴 수열은 코시지만, 그 역은 완비성이 없으면 성립하지 않습니다.

정의·표기 전개는 표준 해석학 교재의 기술을 따름.

② “모든 코시 수열이 수렴한다” = 완비성

• 완비 공간: 모든 코시 수열이 그 공간 안의 어떤 점으로 수렴하는 공간.
• \( \mathbb{R} \)에서는 “수렴 ⇔ 코시” (코시 수렴 정리).
• \( \mathbb{Q} \)는 비완비: 유리수로만 이루어진 코시 수열이 무리수로 수렴 가능.

왜 중요한가? 급수, 함수열, 푸리에 전개 등에서 “코시 기준”은 수렴을 판정하는 표준 도구이며, 함수공간(예: \(L^2\))이 완비일 때 직교 투영과 정규직교 전개가 안정적으로 성립합니다.

③ MIT 18.100A Lecture 10 요약 — The Completeness of the Reals

핵심 내용

• 실수의 완비성을 바탕으로 \( \mathbb{R} \)에서 “코시 ⇔ 수렴”을 증명.
• 코시 ⇒ 유계, 볼차노–바이어슈트라스로 수렴 부분수열 확보, 극한의 유일성으로 전체 수열의 수렴을 결론.
• 완비성의 등가적 표현, 연속함수 하에서의 보존 등도 함께 다룸.

원문 PDF: MIT 18.100A Lecture 10

한 문장 요약 — 실수축의 완비성 덕분에 “뒤에서 서로 가까우면 실제로 한 점에 모인다.”

④ 코시 ⇔ 수렴 (실수에서) — 증명 스케치

1) 수렴 ⇒ 코시

수열 \( x_n \to x \). 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해 충분히 큰 \( N \)에서 \( n\ge N \Rightarrow |x_n-x|<\varepsilon/2 \). 그러면 \( m,n\ge N \)이면 \[ |x_m-x_n| \le |x_m-x| + |x_n-x| < \varepsilon. \]

2) 코시 ⇒ 수렴 (실수에서)

1. 코시이면 유계.
2. 볼차노–바이어슈트라스 정리: 유계 수열은 수렴 부분수열을 가진다.
3. 코시 조건으로 전체 수열이 그 점으로 수렴함을 보인다.

아이디어: 유계성 → 부분수열 수렴 → 코시 조건으로 전체 수렴.

자세한 증명은 MIT 18.100A Lecture 10 본문 참고.

⑤ 연습문제 (학부 난이도)

문제 1 · 코시 ⇔ 수렴 (ℝ)

(a) 수렴이면 코시임을, (b) 코시면 수렴임을 증명하라. 힌트: 유계성 → 볼차노–바이어슈트라스 정리 이용.

핵심 풀이 (a) 삼각부등식. (b) 유계 + 부분수열 수렴 → 전체 수렴.

문제 2 · \( \mathbb{Q} \)는 왜 비완비인가

루트2의 유리 근사 수열을 예로 들어 \( \mathbb{Q} \) 안에서는 코시지만 수렴점이 없음을 보여라.

핵심 풀이 수렴점이 있다면 \( \sqrt{2} \)여야 하나, \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \).

문제 3 · 일반 거리공간

임의의 거리공간 \( (X,d) \)에서 “수렴 ⇒ 코시”를 증명하고, “코시 ⇒ 수렴”이 일반적으로 성립하지 않는 예를 들어라.

핵심 풀이 (앞부분) 삼각부등식 그대로. (반예) \( \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \).

문제 4 · 함수공간 맛보기

\( L^2([0,1]) \)에서 부분합 \( \{S_N\} \)이 코시임을 보이면 급수가 수렴함을 설명하라. (완비성 활용)

핵심 풀이 \( L^2 \)는 완비(힐베르트 공간). 코시 ⇒ 공간 안 함수로 수렴.

⑥ 추천 PDF & 참고

MIT 18.100A Lecture 10

실수의 완비성과 “코시 ⇔ 수렴”을 깔끔히 다룸.

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MIT 18.100A 전체 노트

주차별로 주요 정리를 연결해 읽기 좋음.

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UC Davis — Hunter: Intro to Real Analysis

입문서로 유명한 노트. 코시·극한·완비성 배경 정리가 정리되어 있음.

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요청하시면 위 내용을 프린트용 PDF나 퀴즈 카드 형식으로도 만들어드릴게요.