a+b차 텐서

Linear / Multilinear Algebra · Tensors

“3차원 행렬”에서 텐서로: a-튜플 스칼라와 b차원 행렬의 일반화

행렬 \(m\times n\)을 넘어 \(m\times n\times \ell\) 같은 “3차원 행렬”을 상상하면 곧 **텐서**로 이어집니다. 더 나아가 “체(Field)의 원소 자체가 \(a\)-튜플”일 때의 구조까지 한 번에 정리합니다.

1) 큰 그림: 행렬 → 텐서

• 스칼라: 체 \(F\)의 원소.
• 벡터: \(F^n\) (1차원 배열).
• 행렬: \(F^{m\times n}\) (2차원 배열 = 2차 텐서).
• “3차원 행렬”: \(F^{m\times n\times \ell}\) (3차 텐서).
• 일반화: \(k\)차 텐서 \( \mathcal{A}\in F^{n_1\times n_2\times\cdots\times n_k} \).

직관적으로는 “여러 축(모드)을 가진 다차원 배열”; 이론적으로는 다중선형사상을 나타내는 기하학적 객체입니다.

2) 3차원 행렬 = 3차 텐서의 수식적 정의

벡터공간 \(V_1,V_2,V_3\) 위의 3차 텐서 \(\mathcal{A}\)는 보통 다음과 같은 다중선형형식으로 생각할 수 있습니다:

\[ \mathcal{A} : V_1 \times V_2 \times V_3 \to F,\qquad \mathcal{A}(x,y,z) = \sum_{i,j,k} a_{ijk}\, x_i\, y_j\, z_k. \]

좌표계(기저)를 고정하면 텐서는 성분 \(a_{ijk}\)로 이루어진 배열 \( (a_{ijk}) \)와 동치입니다.

3) “체의 원소가 a-튜플”이라면?

만약 스칼라로 쓰는 체가 \(F=\mathbb{R}^a\) (또는 \(\mathbb{C}^a\))처럼 각 원소가 \(a\)-튜플(벡터)라면, “행렬의 각 원소”가 사실상 길이 \(a\)의 벡터가 됩니다. 그러면

\[ A \in (\,\mathbb{R}^a\,)^{m\times n} \ \cong\ \mathbb{R}^{a\times m\times n}, \]

즉, 2차 배열이 아니라 3차 텐서가 됩니다. 더 일반적으로 “원소가 \(a\)-튜플”이고 “\(b\)차원 배열(= \(b\)차 텐서)”이면:

\[ \mathcal{A} \in (\,\mathbb{R}^a\,)^{n_1\times\cdots\times n_b} \ \cong\ \mathbb{R}^{a\times n_1\times\cdots\times n_b}, \]

즉, 전체는 \((a+b)\)차 텐서가 됩니다. (스칼라의 내부 차원 \(a\)가 텐서의 한 모드로 “펼쳐진” 셈)

4) “b차원 행렬”의 정확한 말: b차 텐서

차수	표현	관점
1차	\(F^{n}\)	벡터, 선형사상 \(V\to F\)
2차	\(F^{m\times n}\)	행렬, 쌍선형/선형사상 \(V\to W\)
3차	\(F^{m\times n\times \ell}\)	3차 텐서, 삼중선형형식
\(k\)차	\(F^{n_1\times\cdots\times n_k}\)	다중선형형식(텐서)

따라서 “\(b\)차원 행렬”이라는 표현은 정식으로는 “\(b\)차 텐서”라고 부르는 게 정확합니다.

5) 텐서에 대한 기본 연산 (개념 맛보기)

• 슬라이싱/섹션: 한 모드를 고정하면 더 낮은 차수의 텐서를 얻음 (예: \(a_{ij\color{#888}{k_0}}\)).
• 텐서 수축(contraction): 한 쌍의 인덱스를 합쳐서(합을 취해) 차수를 2 낮춤. \[ (\mathcal{A}\,\text{contract}\,\mathcal{B})_{ij} = \sum_{k} a_{ik}\, b_{kj}\quad\text{(행렬 곱의 일반화)}. \]
• 모드-\(n\) 곱(mode-\(n\) product): 텐서의 \(n\)번째 축에 행렬을 곱해 차원 변환을 수행.
• 리셰이프 / 펼치기(unfolding): 텐서를 특정 모드 기준으로 행렬로 펼쳐 선형대수 도구를 적용.
• 분해: CP/Tucker/HOSVD 등 텐서 전용 분해(기저/랭크 개념의 일반화).

6) 예시로 감각 잡기

예시 A · 색상 영상

RGB 이미지: \(\mathbb{R}^{H\times W\times 3}\). 각 픽셀의 “스칼라”가 사실 R/G/B 세 성분으로 이뤄진 3-튜플 → 3차 텐서.

예시 B · 채널이 더 많은 데이터

스펙트럼 영상(밴드 \(B\)개): \(\mathbb{R}^{H\times W\times B}\). \(B\)가 스칼라 내부 구조의 크기 \(a\)에 해당.

예시 C · a-튜플 스칼라 + b차 구조

원소가 \(a\)-튜플이고 구조가 \(b\)차라면 전체는 \(\mathbb{R}^{a\times n_1\times\cdots\times n_b}\). 예: 벡터값 신호열 \( (\text{시간 } T)\times(\text{센서 } S)\times(\text{채널 } a) \).

예시 D · 다중선형 평가

\(\mathcal{A}\in F^{m\times n\times \ell}\), \(x\in F^{m},y\in F^{n},z\in F^{\ell}\). \(\ \mathcal{A}(x,y,z)=\sum_{i,j,k} a_{ijk}x_i y_j z_k\) — 3개 벡터를 받아 스칼라를 내는 삼중선형형식.

7) 한눈 요약

개념	표기	요지
행렬	\(F^{m\times n}\)	2차 텐서, 선형사상/쌍선형형식
3차원 행렬	\(F^{m\times n\times \ell}\)	3차 텐서(다중선형)
b차원 행렬	\(F^{n_1\times\cdots\times n_b}\)	\(b\)차 텐서
a-튜플 스칼라	\(F=\mathbb{R}^a\)	스칼라 내부 구조 → 한 모드로 펼쳐짐
종합	\((\mathbb{R}^a)^{n_1\times\cdots\times n_b}\cong \mathbb{R}^{a\times n_1\times\cdots\times n_b}\)	전체는 \((a+b)\)차 텐서

원하면 위 내용을 바탕으로 텐서 연산(모드-n 곱, 수축)이나 텐서 분해(CP/Tucker/HOSVD)까지 확장한 실습/연습문제 버전도 만들어 줄게요.