소수(Prime Number)를 닫힌 형태로 나타내기

Primes · Ramanujan–Fourier · Closed-form

무한차원 삼각기저(라마누잔 합)로 쓰는 소수 닫힌형

다항식 생성의 한계를 짚고, 라마누잔–푸리에 전개로 소수 지시함수와 \(p_n\)을 구조적으로 표현합니다.

1) 다항식으로 소수 일반항을 만들기 어려운 이유 (클래식)

• 정수계수 비상수 다항식 \(f(n)\)이 모든 \(n\)에 대해 ‘항상 소수’가 되기는 불가능합니다(나머지 논법).
• 오일러의 \(n^2+n+41\): \(n=0\sim39\)까지만 연속 소수.
• Mills(1947): 어떤 상수 \(A\)에 대해 \(\lfloor A^{3^n}\rfloor\)가 모든 \(n\ge1\)에서 소수.
• Wright(1951): 초기값 선택 후 \(a_{n+1}=\lfloor 2^{\,a_n}\rfloor\)로 소수열 구성.
• Willans(1964): 삼각함수·계승을 사용한 정확한 \(n\)번째 소수 \(p_n\) 공식(매우 비효율).

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2) 라마누잔–푸리에 전개로의 점프

라마누잔 합(삼각기저)은 다음과 같이 정의합니다.

\[ c_q(n)=\sum_{\substack{1\le a\le q\\(a,q)=1}} e^{2\pi i\,a n/q}. \]

산술함수 일반론에서 폰 망골트 함수 \(\Lambda(n)\)에 대해 아래 전개가 알려져 있습니다.

\[ \frac{\tot(n)}{n}\,\Lambda(n) \;=\; \sum_{q=1}^{\infty} \frac{\mu(q)}{\tot(q)}\,c_q(n). \]

(\(\mu\): 뫼비우스, \(\tot\): 오일러 피함수.) 특히 \(n=p^k\)일 때 \(\Lambda(n)=\Log p\), 그 외에는 0입니다.

소수 지시함수, 소수개수함수, \(p_n\)

다음 함수를 두면

\[ F(n):=\frac{n}{\tot(n)}\sum_{q=1}^{\infty} \frac{\mu(q)}{\tot(q)}\,c_q(n) = \Lambda(n). \]

소수 지시함수는

\[ \mathbf{1}_{\mathrm{prime}}(n) \;=\; \left\lfloor \frac{F(n)}{\Log n}\right\rfloor, \qquad (n\ge 2). \]

따라서

\[ \pi(x)=\sum_{m\le x}\left\lfloor \frac{F(m)}{\Log m}\right\rfloor,\qquad p_n=\min\Big\{x\in\NN:\ \sum_{m\le x}\Big\lfloor \frac{F(m)}{\Log m}\Big\rfloor\ge n\Big\}. \]

— “무한 삼각급수 → 지시함수 → 누적 역함수”의 닫힌 구조입니다.

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3) 실전용 근사 루틴 (연구/실험 아이디어)

1. 부분합 자르기: \(\displaystyle F_Q(n)=\frac{n}{\tot(n)}\sum_{q\le Q}\frac{\mu(q)}{\tot(q)}\,c_q(n)\)
2. 프라임 파워 제거: \(\Big\lfloor F_Q(n)/\Log n\Big\rfloor\)는 \(n=p^k(k\ge2)\)에서 0
3. \(p_n\) 근사 복원: \[ p_n(Q)=\min\left\{x:\ \sum_{m\le x}\Big\lfloor \frac{F_Q(m)}{\Log m}\Big\rfloor\ge n\right\}, \quad Q\to\infty \Rightarrow p_n(Q)\to p_n. \]
4. 변형: \(c_q\) 대신 디리클레 특성자(정규직교) 기저로 변환하여 진동 억제.

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4) 신뢰 가능한 PDF 자료

• S. Ramanujan — On Certain Arithmetical Functions (1916, PDF)
• W.H. Mills — A prime-representing function (1947, PDF/JSTOR)
• E.M. Wright — A prime-representing function (1951, PDF/JSTOR)
• P.J. Willans — Formula for the \(n\)-th prime (설명 페이지, 원문식 포함)
• Goel & Murty — Moments of Ramanujan Sums (PDF)

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5) Keywords (핵심 용어 · 한–영)

용어	한 줄 뜻	영문
폰 망골트 함수	\(\Lambda(n)\): \(n=p^k\)이면 \(\Log p\), 아니라면 0	von Mangoldt function
라마누잔 합	\(c_q(n)=\sum_{(a,q)=1}e^{2\pi i a n/q}\)	Ramanujan sum
라마누잔–푸리에 전개	산술함수를 \(c_q(n)\) 기저로 전개	Ramanujan–Fourier expansion
뫼비우스 함수	\(\mu(n)\in\{-1,0,1\}\)	Möbius function
오일러 피함수	\(\tot(n)=|\{1\le a\le n:(a,n)=1\}|\)	Euler’s totient function
소수 지시함수	\(\mathbf{1}_{\mathrm{prime}}(n)\in\{0,1\}\)	Prime indicator function
소수개수함수	\(\pi(x)=\#\{p\le x\}\)	Prime-counting function
n번째 소수	\(p_n\): 크기순 나열의 n번째 소수	n-th prime

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