정의

힐베르트 공간(Hilbert space)은 (실수/복소) 벡터공간 H에 내적 ⟨·,·⟩이 주어지고, 그 내적이 만드는 노름 ∥x∥ = √⟨x,x⟩에 대해 완비(모든 코시 수열이 수렴)인 공간.

내적의 성질

• 선형성: ⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x,z⟩ + β⟨y,z⟩
• (복소) 공액대칭: ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩^*
• 양의정부호: ⟨x,x⟩ ≥ 0, 그리고 ⟨x,x⟩ = 0 ⇔ x = 0

직교와 분해

⟨x,y⟩ = 0이면 직교. 닫힌 부분공간 M에 대해 H = M ⊕ M^⊥ (직교 분해).

정규직교기저 & 전개

정규직교계열 {e_i}가 조밀하면, 임의의 x ∈ H에 대해 x = ∑⟨x,e_i⟩ e_i (노름 의미)로 전개.

대표적 예

• ℓ²: ∑_i=1^∞ |x_i|² < ∞인 수열 공간, ⟨x,y⟩ = ∑ x_i y_i^*
• L²([a,b]): 제곱적분 가능 함수 공간, ⟨f,g⟩ = ∫_a^b f(x) g(x) dx

예제 1 · ℓ²에서 코시 ⇒ 수렴

문제 ℓ²에서 코시 수열 (x⁽ⁿ⁾). 완비성을 이용해 (x⁽ⁿ⁾)이 ℓ²의 원소로 수렴함을 보여라.

힌트 좌표별 코시 → 좌표별 극한으로 x 정의 → ∑|x_k|² 유계 및 노름수렴.

예제 2 · L²(−π, π) 직교성

문제 ∫_−π^π sin(mx) sin(nx) dx = 0 (m ≠ n)을 직접 적분으로 확인.

힌트 곱의 삼각함수 항등식. 같은 주파수일 때는 π 비교.

예제 3 · 직교 투영

문제 닫힌 부분공간 M = span{e₁, e₂} ⊂ ℓ². x = (x₁, x₂, x₃,…)의 직교 투영 P_M(x)을 구하라.

풀이 표준기저가 정규직교이므로 P_M(x) = x₁e₁ + x₂e₂.

예제 4 · Riesz 표현 정리 맛보기

문제 L²([0,1])에서 T(f) = ∫₀¹ f(x)·x dx는 연속. Riesz 정리에 의해 T(f) = ⟨f,g⟩가 되도록 g를 찾아라.

풀이 ⟨f,g⟩ = ∫₀¹ f(x) g(x) dx이므로 g(x)=x.