0. 무대 설정: 다루는 카테고리

Set, CMon, Ab, CRing, Dom, Field; 소수 집합 \( \mathcal P \)

• Set: 집합, CMon: 가환 모노이드(곱셈만), Ab: 아벨 군
• CRing: 단위원을 가진 가환환, Dom: 정역, Field: 체
• 소수들의 집합을 \( \mathcal P \)라 두자.

1) 자유 가환 모노이드 (소수 = 생성자)

함자와 수반성: \[ F:\mathbf{Set}\rightleftarrows \mathbf{CMon}:U,\qquad F\dashv U. \] \(F\): 자유 가환 모노이드, \(U\): 잊기 함자.

적용: \[ F(\mathcal P)\ \cong\ \bigoplus_{p\in\mathcal P}\mathbb{N} \simeq (\mathbb{N}_{\ge1},\times). \]

보편 성질: 임의의 가환 모노이드 \(M\)과 함수 \(f:\mathcal P\to U(M)\)에 대해 유일한 모노이드 준동형 \( \tilde f:F(\mathcal P)\to M \)이 존재.

⇒ “소수는 자유 생성자”가 정확해진다.

2) 군 완성 (Grothendieck group): \( \mathbb{Q}_{>0} \)의 출현

함자와 수반성: \[ K:\mathbf{CMon}\rightleftarrows \mathbf{Ab}:V,\qquad K\dashv V. \]

적용: \[ K(F(\mathcal P))\ \cong\ \bigoplus_{p\in\mathcal P}\mathbb{Z} \ \simeq\ (\mathbb{Q}_{>0},\times). \]

보편 성질: 임의의 모노이드 사상 \(F(\mathcal P)\to V(G)\) (아벨군 \(G\))은 유일하게 군 준동형 \(K(F(\mathcal P))\to G\)로 승격.

3) 모노이드 환: \( \mathbb{Z}[x_p] \)

함자와 수반성: \[ \mathbb{Z}[-]:\mathbf{CMon}\rightleftarrows \mathbf{CRing}:U_{\times},\qquad \mathbb{Z}[-]\dashv U_{\times}. \]

적용: \[ \mathbb{Z}[F(\mathcal P)]\ \cong\ \mathbb{Z}[x_p\mid p\in\mathcal P],\qquad [n]\ \mapsto\ \prod_{p}x_p^{\,v_p(n)}. \]

보편 성질: 환 \(R\)과 모노이드 사상 \(F(\mathcal P)\to U_{\times}(R)\)마다 유일한 환 준동형 \( \mathbb{Z}[x_p]\to R \)가 존재.

4) 분수체: \( \mathbb{Q}(x_p) \)

함자와 수반성: \[ \mathrm{Frac}:\mathbf{Dom}\rightleftarrows \mathbf{Field}:I,\qquad \mathrm{Frac}\dashv I. \]

적용: \[ \mathrm{Frac}\big(\mathbb{Z}[x_p]\big)=\mathbb{Q}(x_p\mid p\in\mathcal P). \]

보편 성질: \[ \mathrm{Hom}_{\mathbf{CRing}}\!\big(\mathbb{Z}[x_p],K\big) \ \cong\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Field}}\!\big(\mathbb{Q}(x_p),K\big) \] (임의의 체 \(K\)).

5) “소수 기저”의 분해·점·아이디얼 (모노이드/환/스킴)

1. 모노이드 소 아이디얼: \(M=F(\mathcal P)\)에서 소 아이디얼은 본질적으로 \(\mathcal P\)의 부분집합으로 분류.
2. 환의 소 아이디얼 & Spec: \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x_p])\)는 (i) 계수 \(\mathbb{Z}\)에서 오는 층, (ii) 변수 쪽 층으로 이해.
3. \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\)와 연결: 점은 (0), (p). \(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x_p])\)는 그 위의 거대한 아핀 스킴.

6) 요약: “소수 기저”의 카테고리 사슬 (보편 성질 버전)

각 화살표는 왼수반자(자유/완성/분수체)로, “소수 기저”를 손실 없이 상위 구조로 올리는 보편적 확장.

A/B 확장

A) 모노이드–스킴 / F₁(‘소수 기저의 기하화’)

• \(M=\bigoplus_{p\in\mathcal P}\mathbb{N}\), \(X=\mathrm{Spec}_{\mathbb{F}_1}(M)\).
• 기저변환: \(X_{\mathbb{Z}} \cong \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[x_p]\) (무한변수 토릭 아핀).
• 유한 \(S\subset\mathcal P\)로 절단하면 일반 토릭 아핀 \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[x_p\mid p\in S]\).

B) 대칭(갈루아/자동사상)

• 군 단계: \(\mathrm{Aut}(\bigoplus_p\mathbb{Z}) \cong GL_{\mathrm{fin}}(\mathcal P,\mathbb{Z})\).
• 환 단계: 변수 유한치환 \(S_{\mathrm{fin}}(\mathcal P)\curvearrowright \mathbb{Z}[x_p]\); 분수체 단계에선 \(\mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}}\big(\mathbb{Q}(x_p)\big)\) 거대.
• 불변량: \(\mathbb{Q}[x_p]^{S_{\mathrm{fin}}}\cong\) 무한변수 대칭다항식환 \(\Lambda_{\mathbb{Q}}\).

토릭화 실습: 유한 절단 \(S=\{2,3,5,7\}\)

제수·아이디얼·차원·UFD 성질

• \(A=\mathbb{Z}[x_2,x_3,x_5,x_7]\), \(X=\mathrm{Spec}A\), \(\dim X=1+4=5\), \(A\)는 UFD.
• 토러스-불변 높이 1 제수: \(D_i=V(x_i)\) (각 \(i\in\{2,3,5,7\}\)).

자연수→단항식→주(主)제수

\(\gcd/\lcm\)는 계수의 \(\min/\max\)로 직선화.

모노미얼 아이디얼과 근기(radical)

모노미얼 아이디얼 \(I\subset A\)의 근기 \(\sqrt{I}\)는 “등장 변수들의 합집합”으로 결정: \(\sqrt{(x_2^3x_3,\ x_2x_5^2,\ x_5x_7^4)}=(x_2,x_3,x_5,x_7)\).

클래스군

\(A\)는 UFD → 모든 높이 1 제수는 주제수, \(\mathrm{Cl}(A)=0\).

간단 예제

• \(n=2^3\cdot3\cdot 5^2\Rightarrow m(n)=x_2^3x_3x_5^2\), \(\mathrm{div}(m(n))=3D_2+1D_3+2D_5\).
• \(m=2\cdot 5^2\Rightarrow m(m)=x_2x_5^2\), \(\mathrm{div}(m(m))=1D_2+2D_5\).
• \(mn=120\Rightarrow \mathrm{div}(m(mn))=4D_2+1D_3+2D_5\).
• \(\gcd(n,m)=2\Rightarrow \mathrm{div}(m(\gcd))=1D_2\).
• \(\mathrm{lcm}(n,m)=2^3\!\cdot 3 \cdot 5^2\Rightarrow 3D_2+1D_3+2D_5\).

Keywords (정의·용어 정리)