소수 간격 추측 (임시 발행)

짧게 답하면: 최댓값은 없습니다.
서로 인접한 두 소수의 차(소수 간격)는 임의로 크게 만들 수 있어요.

왜 무한히 커질 수 있나 (간단한 증명)

아무 자연수 n에 대해
n!+2,\; n!+3,\; \dots,\; n!+n
은 각각 2,3,\dots,n으로 나누어떨어져 모두 합성수입니다.
따라서 n!+1 다음 소수와 그 이전 소수 사이의 연속 합성수 길이 ≥ n-1 이므로, 소수 간격은 n을 키우면 마음대로 크게 만들 수 있습니다.

⸻

참고로 알려진 사실 몇 가지
• 평균 간격은 대략 \log p 정도지만, 큰 튀김(gap) 도 가끔 나타납니다.
• 무한히 자주 작은 간격도 존재: 현재 증명으로 “간격 ≤ 246인 소수쌍이 무한히 많다”가 알려져 있어요.
• 가설들
• 크래머 추측: 최대 간격 G(x)는 대략 (\log x)^2 규모.
• 리만가설 가정 시: G(x)=O(\sqrt{x}\log x).
• 무조건 증명된 상계(거친 형태): G(x)=O(x^{0.525}) 정도가 알려져 있습니다.

요약: 최대 거리는 존재하지 않지만, 전반적으론 평균이 \log x쯤이고, 이따금 큰 간격이 나타나며, 이론적으로는 (\log x)^2 근방일 거라는 추측이 가장 널리 믿어집니다.