체(Field) 학습노트 2

Algebra · Foundations

필드(Field)란? — 쉽게 이해하는 정리 + 연습문제

덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈이 모두 가능한 세계, 그게 바로 필드(Field)입니다.

1. 필드의 핵심 정의

필드 \(F\)는 두 연산 덧셈(+), 곱셈(·)을 가지며 다음을 만족합니다.

• \((F, +)\): 아벨군 (0이 항등원, −a가 역원)
• \((F\\setminus\\{0\\}, \cdot)\): 아벨군 (1이 항등원, \(a^{-1}\)이 역원)
• 분배법칙: \(a(b+c)=ab+ac\)

2. 예시

• 유리수 집합 \(\\Q\)
• 실수 집합 \(\\R\)
• 유한체 \(\\F_p = \\Z/p\\Z\) (단, \(p\)는 소수)

정수 \(\\Z\)는 나눗셈이 항상 가능하지 않아 필드가 아닙니다.

3. 간단한 유한체 예시

모듈로 5로 계산할 때, \(\\F_5 = \\{0,1,2,3,4\\}\)의 각 원소의 역수는 아래와 같습니다.

a	a−1 (mod 5)
1	1
2	3
3	2
4	4

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🧮 연습문제 8제

1. \(\\Z\)가 필드가 아닌 이유를 설명하시오.
2. 소수 \(p=7\)일 때 \(\\F_7\)에서 \(3^{-1}\)을 구하시오.
3. \(\\R\\setminus\\{0\\}\)이 곱셈에 대해 군을 이루는지 판정하시오.
4. \(\\F_5\)에서 \(2\\cdot 3+4\)의 값을 계산하시오.
5. \(\\F_3\)에서 \(x^2+1=0\)의 해가 존재하는가?
6. \(\\Q\)와 \(\\R\) 중, 대수적으로 닫혀 있는 필드는 어느 쪽인가?
7. \(\\F_2=\\{0,1\\}\) 위에서 \(1+1=0\)이 되는 이유를 설명하시오.
8. 필드의 정의에서 “1≠0” 조건이 빠지면 왜 모든 원소가 같아지는지 설명하시오.

✅ 해설

1. \(\\Z\)에서는 \(2^{-1}\)이 존재하지 않음. 나눗셈이 항상 불가능 → 필드 아님.
2. \(3x ≡ 1 \\pmod 7\)을 만족하는 \(x=5\). (3×5=15≡1)
3. \(\\R\\setminus\\{0\\}\)은 곱셈에 대해 항등원 1, 역원 \(a^{-1}\) 존재 → 아벨군.
4. \(2×3+4 ≡ 6+4 ≡ 10 ≡ 0\\pmod5\).
5. \(x^2+1≡0\\pmod3\)의 해 없음. (0²+1=1,1²+1=2,2²+1=2) → 해X.
6. \(\\R\)은 대수적으로 닫혀 있지 않음. \(x^2+1=0\) 해 없음. \(\\C\)만 대수적 폐포.
7. \(1+1=0\)은 mod 2에서 2≡0이기 때문. 즉, 덧셈의 주기가 2.
8. \(1=0\)이면 모든 \(a=a×1=a×0=0\) → 전체가 하나의 원소가 됨.

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📘 Keywords (핵심 용어 · 한–영)

용어	뜻	영문
필드	덧셈·곱셈이 모두 가능한 구조	Field
아벨군	교환법칙이 성립하는 군	Abelian group
정역	영인수가 없는 환	Integral domain
유한체	원소 개수가 유한한 필드	Finite field
분배법칙	\(a(b+c)=ab+ac\)	Distributive law
역수	\(a^{-1}\)로 \(a·a^{-1}=1\)	Multiplicative inverse

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