[Axler] 1A, 1B 복습노트

📘 1.1 𝔽ⁿ과 벡터 공간 (Vector Space)

📅 Date: 2024.12.04 📚 Source: Axler, Linear Algebra 🏷️ Tags: #선형대수학 #Axler 🚦 Status: 🟡 Review Needed

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1. Definitions (정의)

🔹 Field (필드 𝔽)

이 책에서 𝔽는 다음 두 수 체계 중 하나를 의미합니다.

• ℝ : 실수 (Real Numbers)
• ℂ : 복소수 (Complex Numbers)

🔹 List & Coordinate Space

• List (리스트) ( 𝑥₁, ..., 𝑥ₙ ) 순서가 있는 데이터의 묶음입니다.
• Coordinate Space (좌표 공간 𝔽ⁿ) 𝔽ⁿ = { ( 𝑥₁, ..., 𝑥ₙ ) : 𝑥ₖ ∈ 𝔽 } 성분이 n개인 모든 순서쌍의 집합입니다.
• Zero Vector (영벡터 𝟎) 𝟎 = ( 0, ..., 0 )

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2. Vector Space Axioms (공리)

벡터 공간 𝑉가 되기 위한 필수 조건입니다. ( assumption : 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 and 𝑎, 𝑏 ∈ 𝔽 )

🔹 Addition (덧셈)

1. Commutativity (교환법칙) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

2. Associativity (결합법칙) ( 𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 = 𝑢 + ( 𝑣 + 𝑤 )

3. Additive Identity (항등원) 𝑣 + 𝟎 = 𝑣 (더해서 자기 자신이 되는 𝟎이 존재)

4. Additive Inverse (역원) 𝑣 + ( -𝑣 ) = 𝟎 (더해서 𝟎이 되는 -𝑣가 존재)

🔹 Scalar Multiplication (스칼라 곱)

1. Associativity (결합법칙) ( 𝑎𝑏 ) 𝑣 = 𝑎 ( 𝑏𝑣 )

2. Distributive Properties (분배법칙) 𝑎 ( 𝑢 + 𝑣 ) = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣 ( 𝑎 + 𝑏 ) 𝑣 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑣

3. Multiplicative Identity (항등원) 1 𝑣 = 𝑣

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3. Function Space (𝔽ˢ)

단순한 숫자뿐만 아니라 함수도 벡터가 될 수 있습니다.

• Definition: 집합 S에서 𝔽로 가는 함수들의 집합
• Operations: 각 점마다 값을 더하거나 곱합니다. (Pointwise)
• ( 𝑓 + 𝑔 )( 𝑥 ) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

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🩺 4. Proof Clinic (오답 노트)

❌ My Mistake

"만약 𝑎𝑣 = 𝟎 이면, 양변을 𝑣로 나누거나 𝑣⁻¹을 곱한다?"

👉 Correction: 벡터 공간에는 나눗셈이나 **벡터의 역수(𝑣⁻¹)**가 정의되지 않습니다.

✅ Correct Proof

Proposition : If 𝑎𝑣 = 𝟎 and 𝑎 ≠ 0, then 𝑣 = 𝟎.

Step 1 𝑎 ≠ 0 이므로, 스칼라의 역수 1/𝑎 이 존재한다.

Step 2 (양변에 스칼라 곱) ( 1/𝑎 )( 𝑎𝑣 ) = ( 1/𝑎 )( 𝟎 )

Step 3 (결합법칙 적용) ( ( 1/𝑎 ) · 𝑎 ) 𝑣 = 𝟎 1 · 𝑣 = 𝟎

Conclusion ∴ 𝑣 = 𝟎

📘 1. Vector Spaces (Axler) - Complete Note

📅 Date: 2024.12.04 📚 Source: Axler, Linear Algebra Done Right 🏷️ Tags: #선형대수학 #Axler #증명포함 🚦 Status: 🟡 Review Needed

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1. Complex Numbers & Lists (복소수와 리스트)

🔹 Complex Arithmetic Example

[cite_start]복소수의 곱셈 연산 예시입니다. [cite: 15-17]

• Example: (2, 3) × (4, 5) 계산하기 = (2×4 - 3×5, 2×5 + 3×4) = (8 - 15, 10 + 12)
• = (-7, 22)

🔹 List vs Set (리스트와 집합의 차이)

[cite_start]순서(Order)가 중요한 리스트와 그렇지 않은 집합의 차이를 명확히 해야 합니다. [cite: 38-39]

• Lists (다름): (3, 5) ≠ (5, 3)
• Sets (같음): {3, 5} = {5, 3}

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2. Vector Space Examples (주요 예시)

🔹 𝔽ⁿ vs 𝔽∞

• 𝔽ⁿ (Finite): 길이가 n인 유한한 리스트 ( 𝑥₁, ..., 𝑥ₙ ) [cite_start][cite: 40]
  • [cite_start]Example: ℂ⁴ = { (𝑧₁, 𝑧₂, 𝑧₃, 𝑧₄) : 𝑧ₖ ∈ ℂ } [cite: 43]
• 𝔽∞ (Infinite): 길이가 무한한 리스트 ( 𝑥₁, 𝑥₂, ... ) [cite_start][cite: 94-96]

🔹 Function Space (𝔽ˢ)

[cite_start]집합 S에서 𝔽로 가는 함수들의 집합도 벡터 공간입니다. [cite: 106-109]

• Zero Function (영함수 𝟎): 모든 𝑥 ∈ S 에 대해 𝟎(𝑥) = 0 인 함수
• Additive Inverse (-𝑓): (-𝑓)(𝑥) = -𝑓(𝑥) 로 정의됨

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3. Key Theorems & Proofs (핵심 증명) ⭐️

벡터 공간의 성질을 유도하는 중요한 증명들입니다.

1️⃣ Uniqueness of Additive Identity

[cite_start]정리: 벡터 공간의 덧셈 항등원(0)은 유일하다. [cite: 110-112]

Proof: 0과 0'을 두 개의 항등원이라고 가정하자.

0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0

따라서 0' = 0 이므로 유일하다.

2️⃣ Uniqueness of Additive Inverse

[cite_start]정리: 각 벡터 𝑣에 대해, 더해서 0이 되는 역원(-𝑣)은 유일하다. [cite: 113-115]

Proof: 𝑤와 𝑤'이 𝑣의 역원이라고 가정하자. (𝑣 + 𝑤 = 0, 𝑣 + 𝑤' = 0) 𝑤 = 𝑤 + 0 = 𝑤 + (𝑣 + 𝑤') = (𝑤 + 𝑣) + 𝑤' = 0 + 𝑤' = 𝑤'

∴ 𝑤 = 𝑤'

3️⃣ Multiplication by 0 (Scalar 0)

[cite_start]정리: 0𝑣 = 𝟎 (스칼라 0을 곱하면 영벡터가 된다) [cite: 126]

Proof: 0𝑣 = (0 + 0)𝑣 = 0𝑣 + 0𝑣 양변에 -(0𝑣)를 더하면 (소거법),

𝟎 = 0𝑣

4️⃣ Multiplication by Vector 0

[cite_start]정리: 𝑎𝟎 = 𝟎 (영벡터에 스칼라를 곱하면 영벡터가 된다) [cite: 127]

Proof: 𝑎𝟎 = 𝑎(𝟎 + 𝟎) = 𝑎𝟎 + 𝑎𝟎 양변에 -(𝑎𝟎)를 더하면,

𝟎 = 𝑎𝟎

5️⃣ Inverse is -1 times v

[cite_start]정리: (-1)𝑣 = -𝑣 [cite: 132]

Proof: 𝑣 + (-1)𝑣 = 1𝑣 + (-1)𝑣 = (1 + (-1))𝑣 = 0𝑣 = 𝟎 𝑣에 (-1)𝑣를 더했더니 0이 되었으므로, (-1)𝑣는 𝑣의 덧셈 역원이다.

∴ -𝑣 = (-1)𝑣

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🩺 4. Proof Clinic (오답 노트 수정)

❌ My Mistake (Page 13)

"만약 𝑎𝑣 = 𝟎 이면 𝑎 = 0 또는 𝑣 = 𝟎 이다"를 증명할 때 나눗셈을 사용함.

[cite_start]✅ Correct Proof (제대로 된 증명) [cite: 139-144]

Assumption: 𝑎 ≠ 0 이라고 가정하자.

1. 𝑎의 역수(1/𝑎)가 존재한다.
2. 식 𝑎𝑣 = 𝟎 의 양변에 1/𝑎 를 곱한다. (1/𝑎)(𝑎𝑣) = (1/𝑎)𝟎
3. 결합법칙에 의해: ((1/𝑎)𝑎)𝑣 = 𝟎 1𝑣 = 𝟎
4. ∴ 𝑣 = 𝟎

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5. Other Exercises

• Empty Set: 공집합은 벡터 공간인가? [cite_start]👉 No (항등원 0이 없으므로) [cite: 149]
• Uniqueness: 𝑣 + 3𝑥 = 𝑤 를 만족하는 𝑥는 유일한가? (Exercise) [cite_start][cite: 148]