[Axler] 챕터1~챕터3 예습노트

Ch 1. Vector Spaces (벡터 공간)

1. 부분공간 판정법 (Subspace Test)

부분집합 U가 부분공간임을 보일 때, 0, 덧셈, 스칼라곱을 따로 보이지 마세요.

u, w ∈ U, a, b ∈ F  ⇒  au + bw ∈ U

실전 Tip: "닫혀 있다(Closed)"는 것만 한 줄로 보이면 증명 끝입니다.

2. 직합 판정법 (Direct Sum Test) ★

공간의 합이 직합(Direct Sum, ⊕)인지 확인할 때 교집합을 구하지 마세요.

u₁ + ... + uₘ = 0  ⇒  u₁ = ... = uₘ = 0

증명 패턴: "합해서 0이 된다고 가정하자. 그 다음 각각이 0임을 유도한다."

Ch 2. Finite-Dimensional Vector Spaces

1. 선형 독립 증명법 (Linear Independence)

리스트가 독립임을 증명하라는 문제가 나오면 무조건 첫 문장은 이렇게 시작합니다.

"Suppose c₁v₁ + ... + cₘvₘ = 0."

그 다음 목표는 모든 계수 c = 0임을 보이는 것입니다.

2. 기저(Basis) 관련 테크닉

• Extension Theorem: 선형 독립인 리스트는 기저로 확장(Extend) 될 수 있다. (부족하면 채워넣는다)
• Reduction Theorem: 생성(Span)하는 리스트는 기저로 축소(Reduce) 될 수 있다. (남으면 쳐낸다)

Ch 3. Linear Maps (선형 사상)

1. 단사 판정법 (Injectivity) ★★★

함수 T가 일대일(Injective)인지 물어보면, f(x)=f(y)를 쓰지 말고 핵(Kernel)을 구하세요.

T is injective  ⇔  null T = {0}

실전 Tip: "Tv = 0 이라고 가정하자. 만약 v가 무조건 0이어야 한다면 증명 끝."

2. 차원 정리 (Rank-Nullity Theorem)

선형대수학의 기본 정리입니다.

dim V = dim(null T) + dim(range T)

활용: 입력 차원과 출력 차원(dim W)이 같다면,
단사(Injective) ⇔ 전사(Surjective) ⇔ 전단사(Bijective)
하나만 보이면 나머지는 공짜입니다.