[Axler] Chap4, Chap5 예습노트

Linear Algebra Done Right - Summary

Sheldon Axler | Chapter 4 & 5

Chapter 4: Polynomials

이 챕터는 선형대수학 자체보다는, 5장의 고윳값 존재성을 증명하기 위한 해석학적/대수적 도구를 준비하는 단원입니다. $\mathbb{C}$와 $\mathbb{R}$의 차이를 명확히 하는 것이 핵심입니다.

1. 기본 성질과 나눗셈 정리

기본 정의 체 $\mathbb{F}$ 위의 다항식 $p \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$는 $p(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_m z^m$ 꼴의 함수이다. $a_m \neq 0$이면 $\deg p = m$이다.

나눗셈 정리 (Division Algorithm) $p, s \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$이고 $s \neq 0$이면, 다음을 만족하는 유일한 다항식 $q, r \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$가 존재한다. $$p = s q + r, \quad \text{and} \quad \deg r < \deg s$$

• 영점(Zero/Root): $p(\lambda) = 0$이 되는 $\lambda \in \mathbb{F}$.
• 인수(Factor): $\lambda$가 $p$의 영점일 필요충분조건은 $(z-\lambda)$가 $p$의 인수라는 것이다 (즉, $p(z) = (z-\lambda)q(z)$).

2. 복소수 체 $\mathbb{C}$ 위에서의 다항식

대수학의 기본 정리 (Fundamental Theorem of Algebra) 상수가 아닌 모든 복소계수 다항식 $p \in \mathcal{P}(\mathbb{C})$는 적어도 하나의 영점(root)을 가진다.

$\mathbb{C}$ 위의 인수분해 $p \in \mathcal{P}(\mathbb{C})$이고 $\deg p = m \ge 1$이면, $p$는 다음과 같이 1차식들로 유일하게 인수분해된다. $$p(z) = c(z-\lambda_1)\dots(z-\lambda_m)$$ 여기서 $c, \lambda_1, \dots, \lambda_m \in \mathbb{C}$이다.

3. 실수 체 $\mathbb{R}$ 위에서의 다항식

실계수 다항식은 항상 실수 해를 가지지는 않지만(예: $x^2+1$), 켤레쌍(conjugate pair)의 성질을 가진다.

$\mathbb{R}$ 위의 인수분해 $p \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$이면, $p$는 다음과 같은 꼴의 곱으로 유일하게 인수분해된다. $$c(x-\lambda_1)\dots(x-\lambda_m)(x^2+b_1x+c_1)\dots(x^2+b_Mx+c_M)$$ 여기서 $b_j^2 < 4c_j$ (즉, 2차식 부분은 실근을 갖지 않음).

핵심 함의: $\mathbb{R}$ 위에서는 다항식이 1차식으로 쪼개지지 않을 수 있다. 이는 5장에서 "실수 벡터공간 위의 연산자는 고윳값을 갖지 않을 수 있다"는 사실로 연결된다.

Chapter 5: Eigenvalues, Eigenvectors, and Invariant Subspaces

선형대수학의 가장 중요한 목표 중 하나인 "연산자를 단순하게 표현하는 기저(Basis) 찾기"를 다룹니다. Axler는 행렬식(Determinant)을 전혀 사용하지 않고 전개합니다.

1. 불변 부분공간 (Invariant Subspaces)

정의 연산자 $T \in \mathcal{L}(V)$에 대해, 부분공간 $U \subseteq V$가 $T$-불변(invariant)이라는 것은 다음을 의미한다. $$u \in U \implies Tu \in U$$

• 가장 자명한 불변 부분공간: $\{0\}$, $V$, $\text{null } T$, $\text{range } T$.
• 고유벡터(Eigenvector): 1차원 불변 부분공간을 생성하는 0이 아닌 벡터.

2. 고윳값과 고유벡터 (Eigenvalues and Eigenvectors)

고윳값 (Eigenvalue) $\lambda \in \mathbb{F}$가 $T$의 고윳값이라는 것은, $Tv = \lambda v$를 만족하는 $v \neq 0$가 존재한다는 것이다.

Axler 식의 동치 표현 (행렬식 $\det(T-\lambda I)=0$ 대신):

• $\lambda$가 고윳값이다.
• $\iff T - \lambda I$가 단사함수(injective)가 아니다.
• $\iff T - \lambda I$가 전사함수(surjective)가 아니다. (유한차원일 때)
• $\iff T - \lambda I$가 가역(invertible)이 아니다.
• $\iff \text{null}(T - \lambda I) \neq \{0\}$.

고유벡터의 독립성 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$에 대응하는 고유벡터 $v_1, \dots, v_m$은 선형 독립(Linearly Independent)이다.

3. 연산자의 상삼각 행렬화 (Upper-Triangular Matrices)

Jordan Form으로 가기 전, Axler가 제시하는 가장 중요한 중간 목표입니다.

고윳값의 존재성 (Existence of Eigenvalues) 유한차원($V \neq \{0\}$) 복소수 벡터공간($\mathbb{F} = \mathbb{C}$) 위의 모든 연산자는 적어도 하나의 고윳값을 가진다.
(증명에 Ch 4의 대수학의 기본 정리가 쓰임. $\mathbb{R}$에서는 성립하지 않음.)

상삼각 행렬 정리 (Schur's Theorem Version) $V$가 $\mathbb{C}$ 위의 유한차원 벡터공간이고 $T \in \mathcal{L}(V)$이면, $T$가 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)을 갖게 하는 $V$의 기저가 존재한다.

• 상삼각행렬의 대각 성분들은 정확히 $T$의 고윳값들이다.
• 이 정리는 불변 부분공간들의 사슬(Invariant Flag) $V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$의 존재와 동치이다.

4. 고유공간과 대각화 (Eigenspaces and Diagonalizability)

고유공간 (Eigenspace) $E(\lambda, T) = \text{null}(T - \lambda I)$. (고윳값 $\lambda$에 대응하는 모든 고유벡터와 0벡터의 집합)

대각화 가능성 (Diagonalizability) 연산자 $T$가 대각행렬(Diagonal Matrix)을 갖는 기저가 존재할 필요충분조건은 다음과 같다.

1. $V$가 고유벡터들로 이루어진 기저를 갖는다.
2. 혹은, 고유공간들의 합이 전체 공간이 된다: $V = E(\lambda_1, T) \oplus \dots \oplus E(\lambda_m, T)$.
3. 혹은, 고유공간들의 차원의 합이 $V$의 차원과 같다: $\sum \dim E(\lambda_i, T) = \dim V$.

주의: 고윳값이 모두 다르면(distinct) 대각화 가능하지만, 역은 성립하지 않는다. (고윳값이 중복되어도 대각화 가능할 수 있음, 예: Identity operator)

Generated based on "Linear Algebra Done Right" 3rd/4th Edition by Sheldon Axler.
Summary created for study purposes.